如何理解“f(x)为不超过n次的多项式时,n次language插值多项式就是被插函数本身”的含义数值计算方法科目的题目.拉格朗日插值~

Question

如何理解“f(x)为不超过n次的多项式时,n次language插值多项式就是被插函数本身”的含义
数值计算方法科目的题目.
拉格朗日插值~

Answer 1

设这个多项式为p(x),

它的n次拉格朗日差值多项式为Ln(x)

令：R(x)=p(x)-Ln(x)
假设R(x)≠0,

则R(x)的次数也一定不超过n次,

所以R(x)最多只有n个零点.

但是我们知道Ln(x)是p(x)的n次拉格朗日差值多项式,

那么Ln(x)和p(x)在n+1个点上的值是相等的,

那么R(x)是有n+1个零点的,

这与之前的论断矛盾,

所以假设是不成立的.

也就是说R(x)=0,这意味着p(x)=Ln(x),

即一个次数不超过n的多项式,

它的n次拉格朗日插值多项式就是它本身.