在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．

Answer 1

（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=CB，
（2）①由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠DAF=∠ABD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠ABD=∠FAD
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=(1)/(3)×180°=60°，
由旋转得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
在△AFD和△BED中，

∠F=∠BED=90°

∠FAD=∠BED

AD=BD

，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE，
②如图，
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，
由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，
∴∠BAD=36°，
设BD=y，作BG平分∠ABD，
∴∠BAD=∠GBD=36°
∴AG=BG=BD=y，
∴DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD，
∵∠BDG=∠ADB，
∴△BDG∽△ADB，
∴(BD)/(AD)=(DG)/(DB)．
∴(BD)/(AD)=(AD-BD)/(BD)=(AD)/(BD)-1，即（(AD)/(BD)）²-(AD)/(BD)-1=0，
∴(AD)/(BD)=(1+√(5))/(2)，
∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，
∴△AFD∽△BED，
∴(AD)/(BD)=(AF)/(BE)，
∴AF=(AD)/(BD)×BE=(1+√(5))/(2)x．