已知圆O：x2+y2=4．点M（4，0），过原点的直线（不与x轴重合）与圆O交于A，B两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为．

Question

已知圆O：x²+y²=4．点M（4，0），过原点的直线（不与x轴重合）与圆O交于A，B两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为___．

Answer 1

本题求解三角形外接圆的面积最小值，即求外接圆的半径最小值．又因为AB的长度为定值，所以仅需求∠AMB正弦的最大值即可，即求∠AMB余弦的最小值，因此可以使用余弦定理直接求解即可．
设MA=x，MB=y，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，可得x²+y²=40，
∴x²+y²=40≥2xy，∴xy≤20
∴cos∠AMB=(x2+y2-16)/(2xy)=(12)/(xy)≥(3)/(5)
∴sin∠AMB≤(4)/(5)，
再由正弦定理，得：2R=(AB)/(sin∠AMB)≥10，
∴R≥5，
∴△ABM的外接圆的面积的最小值为25π．
故答案为：25π．