已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对

Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，恒有f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝x2−3x+lnx，f(x)＝2x−3+(1)/(x)．…（2分）
因为f'（1）=0，f（1）=-2．
所以切线方程是y=-2．…（4分）
（Ⅱ）函数f（x）=2ax-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）
当a＞0时，f′(x)＝2ax−(a+2)+(1)/(x)＝(2ax2−(a+2)x−1)/(x)(x＞0)
令f′（x）=0，即f′(x)＝(2ax2−(a+2)x+1)/(x)＝((2x−1)(ax−1))/(x)＝0，
所以x＝(1)/(2)或x＝(1)/(a)．…（7分）
当0＜(1)/(a)≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜(1)/(a)＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f((1)/(a))＜f(1)＝−2，不合题意；
当(1)/(a)≥e时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意…（10分）
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（10分）
而g′(x)＝2ax−a+(1)/(x)＝(2ax2−ax+1)/(x)
当a=0时，g′(x)＝(1)/(x)＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；…（11分）
当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，…（12分）
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x＝(1)/(4)＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（16分）