在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,角BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG垂直AE,垂足为G,BG=4根2,则三角形CEF的周长为多少?

Question

在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,角BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG垂直AE,垂足为G,BG=4根2,则三角形CEF的周长为多少?

Answer 1

因为 AE是∠BAD的平分线
所以 ∠BAE=∠DAE
因为 AD‖BC
所以 ∠DAE=∠AEB（两直线平行,内错角相等）
所以 ∠BAE=∠AEB
所以 △BAE是等腰三角形,BE=AB=6,CE=BC-BE=9-6=3
因为 BG⊥AE,∠BGE=90
所以 BG是等腰三角形BAE底边AE的垂直平分线
所以 G是AE的中点,AG=GE
因为 直角三角形ABG中,由勾股定理有AB^2=AG^2+BG^2
所以 AG^2= AB^2-BG^2=36-32=4
AG=GE=2
取CD中点H,连结GH,EH,则CH=DH=3
因为 AD‖CE,且G是AE的中点,H是CD的中点
所以 AD‖GH‖CE,且2GH=AD+CE=9+3=12,GH=6
因为 GH‖BE,GH=BE=6
所以 四边形BEHG是平行四边形
所以 BG‖EH
所以 ∠BGE=∠AEH（两直线平行,内错角相等）=90,即EH⊥AE
因为 ∠F=∠BAE（两直线平行,内错角相等）
∠EGH=∠DAE（两直线平行,同位角相等）
所以 ∠F=∠EGH
所以 △HGF是等腰三角形,FH=GH=6,CF=HF-CH= 6-3=3,
所以 EH是等腰三角形HFG底边GF的垂直平分线
所以 E是GF的中点,EF=GE=2
于是 △CEF的周长=CE+CF+EF=3+3+2=8