如图,在四面体ABCD中,AD垂直平面BCD,BC垂直CD,AD=2,BD=2倍根号2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QG求证PQ垂直AD

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如图,在四面体ABCD中,AD垂直平面BCD,BC垂直CD,AD=2,BD=2倍根号2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QG 求证PQ垂直AD

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答案和解析

过P,Q分别向面BCD做垂线分别交BD,CD于E,F
因为AD⊥面BCD,所以QF平行于AD
且AQ=3QC所以Q为AC的四等分点所以三角形ADC中QF平行等于1/4AD
同理PE=1/2MD=1/4AD所以 PE平行且等于QF所以四边形PEFQ为平行四边形
所以PQ平行于EF
因为EF在面BCD上所以AD⊥EF
所以AD⊥PQ

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