椭圆x^2/9+y^2/4=1的左右焦点分别为F1F2点P为其上的动点当角当角F1PF2为钝角时点P横坐标的取值范围是

Question

椭圆x^2/9+y^2/4=1的左右焦点分别为F1F2点P为其上的动点 当角
当角F1PF2为钝角时 点P横坐标的取值范围是

Answer 1

方法一:
由椭圆方程x^2/9＋y^2/4＝1,得：c＝√（9－4）＝√5,
∴F1、F2的坐标分别是（－√5,0）、（√5,0）.
令点P的坐标是（3cosA,2sinA）,则：
向量PF1＝（－√5－3cosA,－2sinA）、向量PF2＝（√5－3cosA,－2sinA）,
∴向量PF1·向量PF2＝－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2.
∵∠F1PF2是钝角,∴向量PF1·向量PF2＜0,
∴－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2＜0,
∴－［5－9（cosA）^2］＋4（sinA）^2＜0,
∴－5＋4［（cosA）^2＋（sinA）^2］＋5（cosA）^2＜0,
∴－1＋5（cosA）^2＜0,∴（cosA）^2＜1/5,∴－√5/5＜cosA＜√5/5,
∴－3√5/5＜3cosA＜3√5/5.
∴点P的横坐标取值范围是（－3√5/5,3√5/5）
方法二:
x^2/9+y^2/4=1
a^2=9,b^2=4, a=3,b=2
c^2=5,c=√5
以O为圆心,半径√5的圆的方程为
x^2+y^2=5
圆O和椭圆交于CDEF4点
x^2+y^2=5
x^2/9+y^2/4=1,4x^2+9y^2=36
4x^2+9(5-x^2)=36
5x^2=9
x^2=9/5
x=3/√5或x=-3/√5
Cx=Dx=-3/√5, Ex=Fx=3/√5
-3/√5