求一道极限题lim[(a^1/n+b^1/n)/2]^nn→∞求你们了

Question

求一道极限题lim[(a^1/n+b^1/n)/2]^n n→∞
求你们了

Answer 1

先考虑极限lim(x→0) [(a^x＋b^x)/2]^(1/x)
取对数,1/x×ln[(a^x＋b^x)/2]
ln[(a^x＋b^x)/2]＝ln[1＋(a^x-1+b^x-1)/2]等价于(a^x-1+b^x-1)/2
lim(x→0) 1/x×ln[(a^x＋b^x)/2]＝lim(x→0) 1/x×(a^x-1+b^x-1)/2＝ln√(ab)
－－可以使用洛必达法则,或者换元t＝a^x－1,把(a^x-1)/x形式的极限转换为第二个重要极限－－－
所以,lim(x→0) [(a^x＋b^x)/2]^(1/x)＝e^[ln√(ab)]＝√(ab)
如果限定x＝1/n,n是正整数,则有
lim(n→∞)[(a^1/n+b^1/n)/2]^n＝√(ab)