如果数列A：a1，a2，…，am（m∈Z，且m≥3），满足：①ai∈Z，-m2≤ai≤m2（i=1，2，…，m）；②a1+a2+…+am=1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：-2，1，3，-1；数列N：0，1，0，-1，1．

Question

如果数列A：a₁，a₂，…，a_m（m∈Z，且m≥3），满足：①a_i∈Z，-(m)/(2)≤ai≤(m)/(2)（i=1，2，…，m）；②a₁+a₂+…+a_m=1，那么称数列A为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列M：-2，1，3，-1；数列N：0，1，0，-1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；
（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．

Answer 1

（本小题共13分）
（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．               …（2分）
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由a₁+a₂+…+a_m=1  得a₁+am=(2)/(m)∉Z，与a_i∈Z矛盾，
所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．            …（7分）
（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：
设S_n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），
任取大于0的一项作为第一项，则满足-(m)/(2)+1≤S₁≤(m)/(2)，
假设当2≤n≤m时，-(m)/(2)+1≤Sn-1≤(m)/(2)
若S_n-1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证-(m)/(2)+1≤S_n≤(m)/(2)，
若S_n-1≠0，则剩下的项必有0或与S_n-1异号的一项，否则总和不是1，
所以取0或与S_n-1异号的一项作为第n项，可以保证-(m)/(2)+1≤S_n≤(m)/(2)．
如果按上述排列后存在S_n=0成立，那么命题得证；
否则S₁，S₂，…，S_m这m个整数只能取值区间[-(m)/(2)+1，(m)/(2)]内的非0整数，
因为区间[-(m)/(2)+1，(m)/(2)]内的非0整数至多m-1个，所以必存在S_i=S_j（1≤i那么从第i+1项到第j项之和为S_i-S_j=0，命题得证．
综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．              …（13分）