（2011•北京）静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ0和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为

Question

（2011•北京）静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ₀和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为-A（0＜A＜qφ₀）．忽略重力．求：
（1）粒子所受电场力的大小；
（2）粒子的运动区间；
（3）粒子的运动周期．

Answer 1

（1）由图可知，0与d（或-d）两点间的电势差为φ₀
电场强度的大小    E=(φ0)/(d)
电场力的大小      F=qE=(qφ0)/(d)．
（2）设粒子在[-x，x]区间内运动，速率为v，由题意得(1)/(2)mv2-qφ=-A
由图可知          φ=φ0(1-(|x|)/(d))
由①②得          (1)/(2)mv2=qφ0(1-(|x|)/(d))-A
因动能非负，有    qφ0(1-(|x|)/(d))-A≥0
得                |x|≤d(1-(A)/(qφ0))
即                 x =d(1-(A)/(qφ0))
粒子运动区间-d(1-(A)/(qφ0))≤x≤d(1-(A)/(qφ0))．
（3）考虑粒子从-x₀处开始运动的四分之一周期
根据牛顿第二定律，粒子的加速度   a=(F)/(m)=(Eq)/(m)=(qφ0)/(md)
由匀加速直线运动      t=√((2x0)/(a))
将④⑤代入，得        t=√((2md2)/(qφ0)(1-(A)/(qφ0)))
粒子运动周期          T=4t=(4d)/(qφ0)√(2m(qφ0-A))．