（2014•盐城二模）设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．

Question

（2014•盐城二模）设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

由f（x）=ax+sinx+cosx，得
f′（x）=a+cosx-sinx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则f′（x₁）=a+cosx₁-sinx₁，f′（x₂）=a+cosx₂-sinx₂．
由f′(x1)f′(x2)=-1，得
a²+[（cosx₁-sinx₁）+（cosx₂-sinx₂）]a+（cosx₁-sinx₁）（cosx₂-sinx₂）+1=0．
令m=cosx₁-sinx₁，n=cosx₂-sinx₂，
则m∈[-√(2)，√(2)]，n∈[-√(2)，√(2)]．
∴a²+（m+n）a+mn+1=0．
△=（m+n）²-4mn-4=（m-n）²-4，
∴0≤（m-n）²-4≤4，0≤√((m-n)2-4)≤2．
当m-n=±2√(2)时，m+n=0，
又a=(-(m+n)±√((m+n)2-4mn-4))/(2)=(-(m+n)±√((m-n)2-4))/(2)．
∴-1≤a≤1．
∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．