设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1

Question

设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A₁B₁和A

2

B₂，使|A₁B₁|=|A

2

B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___．

Answer 1

不妨设双曲线的方程是(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0），
由|A₁B₁|=|A₂B₂|及双曲线的对称性知A₁，A₂，B₁，B₂关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A₁，A₂，B₁，B₂，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
且不可能存在|A₁B₁|=|A₂B₂|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，
双曲线与直线有一对交点A₁，A₂，B₁，B₂，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°<(b)/(a)≤tan60°，则(1)/(3)<(b2)/(a2)≤3，
∵b²=c²-a²，∴(1)/(3)<(c2-a2)/(a2)≤3，
解得e∈((2√(3))/(3)，2]．
故答案为((2√(3))/(3)，2]．