设矩阵A=12−3−14−31a5的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

Question

设矩阵A=

1	2   −3
−1	4    −3
1	a     5

的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

Answer 1

A的特征多项式为：
|λE-A|=

.

λ−1	−2	3
1	λ−4	3
−1	−a	λ−5

.

=

.

λ−2	−(λ−2)	0
1	λ−4	3
−1	−a	λ−5

.

=(λ−2)

.

λ−4	3
−a	λ−5

.

+(λ−2)

.

1	3
−1	λ−5

.

=（λ-2）（λ²-8λ+18+3a），
①如果λ=2是特征方程的二重根，
则有：2²-16+18+3a=0，解得a=-2，
此时，A的特征值为2，2，6，
因为矩阵：2E-A=

1	−2	3
1	−2	3
−1	2	3

 的秩为1，
故λ=2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化，
②若λ=2不是特征方程的二重根，
则λ²-8λ+18+3a=0有两个相等实根，
由△=（-8）²-4×（18+3a）=-8-12a=0，
解得 a＝−(2)/(3)，
此时，A的特征值为2，4，4，
矩阵：4E-A=

3	−2	3
1	0	3
−1	(2)/(3)	−1

 的秩为2，
故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个，
从而A不可相似对角化，
综上，
1⁰，当a=-2时，A的特征值为2，2，6，此时A可相似对角化，
2⁰，当a＝−(2)/(3)时，A的特征值为2，4，4，此时A不可相似对角化．