设z=f（x，y）在点（a，a）的某个邻域内可微，已知f（a，a）=a，∂f∂x|（a，a）=b，∂f∂y|（a，a）=c，记φ（x）=f[x，f（x，f（x，x））]（1）计算φ（a）；（2）计算ddxφ2（x）|x=a．

Question

设z=f（x，y）在点（a，a）的某个邻域内可微，已知f（a，a）=a，(∂f)/(∂x)|_（a，a）=b，(∂f)/(∂y)|_（a，a）=c，记φ（x）=f[x，f（x，f（x，x））]
（1）计算φ（a）；
（2）计算(d)/(dx)φ²（x）|_x=a．

Answer 1

（1）∵f（a，a）=a
∴φ（a）=f[a，f（a，f（a，a））]=f（a，f（a，a））=f（a，a）=a
（2）∵(d)/(dx)φ2(x)＝2φ(x)φ′(x)，(d)/(dx)φ2(x)|_x＝a＝
又 φ（x）=f[x，f（x，f（x，x））]，令 u=f（x，v），v=f（x，y），y=x，
则由复合函数链式求导法则，得

(dφ)/(dx)＝(∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂u)(∂u)/(∂x)＝(∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂u)((∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂v)(∂v)/(∂x))

 ＝(∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂u)[(∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂v)((∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂y)(dy)/(dx))]

而当x=a时，y=a，v|_x=a=f（a，a）=a，u|_x=a=f（a，a）=a
且已知(∂f)/(∂x)|x＝y＝a＝b，(∂f)/(∂y)|x＝y＝a＝c，(∂f)/(∂u)|x＝u＝a＝(∂f)/(∂y)|x＝y＝a＝c，(∂f)/(∂v)|x＝v＝a＝(∂f)/(∂y)|x＝y＝a＝c
∴(d)/(dx)φ(x)|x＝a＝b+c[b+c(b+c)]
(d)/(dx)φ2(x)|x＝a＝2φ(a)φ′(a)＝2a[b+c(b+c(b+c))]．