已知线段AB的端点B的坐标为(1,3)

Question

已知线段AB的端点B的坐标为(1,3 )

Answer 1

已知线段AB的端点B的坐标为(1,3),端点A在圆C:(x+1)^2+y^2=4上运动,
（1）求线段AB的中点M的轨迹
（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A,D.当CA⊥CD时,求L的斜率.
（1）设中点为（x0,y0)
则A点坐标为（2x0-1,2y0-3)
因为A点在圆上,把点带入圆方程
得x0^2+(y0-3/2)^2=1
所以线段AB的中点M的轨迹为x^2+(y-3/2)^2=1
（2）设直线方程为y=kx+b,因为经过B点,代入方程得：y=kx+3-k
A（x1,y1),D（x2,y2)
当CA⊥CD 向量CA*向量CD=0即(x1+1)*(x2+1)+y1*y2=0
联立方程（x+1)^2+y^2=4和y=kx+3-k
得：（1+k^2)x^2+(2+6k-2k^2)x+k^2-6k+6=0
(x1+1)*(x2+1)+y1*y2=0
最后化解得：3k^3+4k^2-21k+14=0
所以k=1
L的斜率为1.