高数不定积分问题!求不定积分：∫sinx/sinx+cosxdx.

Question

高数不定积分问题!
求不定积分：∫sinx/sinx+cosx dx.

Answer 1

记 A=∫sinx/(sinx+cosx)dx, B=∫cosx/(sinx+cosx)dx, 容易看出
A+B
=∫(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=∫1dx
=x+C1 (1)
另一方面
B-A
=∫cosx/(sinx+cosx)dx-∫sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx (利用(cosx-sinx)dx=d(sinx+cosx))
=∫1/(sinx+cosx)d(sinx+cosx)
=ln|sinx+cosx|+C2 (2)
(1)(2)中C1,C2是常数.因此
∫sinx/(sinx+cosx)dx
=((1)-(2))/2
=(x-ln|sinx+cosx|)/2+C
这里C是任意常数.