已知抛物线C：y=x2．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|；（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．

Question

已知抛物线C：y=x²．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|；
（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为y=x+1，代入y=x²，消去y，可得x²-x-1=0，
解得，x₁=(1+√(5))/(2)，x₂=(1−√(5))/(2)．
所以|AB|=√(2)|(1+√(5))/(2)-(1−√(5))/(2)|=√(10)．       …（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）+2，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由y=k（x-1）+2代入y=x²，消去y整理得x²-kx+k-2=0，
于是x₁+x₂=k，x₁x₂=k-2，
又因为y′=（x²）′=2x，
所以，抛物线y=x²在点A，B处的切线方程分别为：y=2x₁x-x₁²，y=2x₂x-x₂²．
得两切线的交点P（(k)/(2)，k-2）．
所以点P到直线l的距离为d=(|k2−4k+8|)/(2√(k2+1))．
又因为|AB|=√(1+k2)•|x₁-x₂|=√(1+k2)•√(k2−4k+8)．
设△PAB的面积为S，所以S=(1)/(2)|AB|•d=(1)/(4)(√((k−2)2+4))3≥2（当k=2时取到等号）．
所以△PAB面积的最小值为2．                              …（14分）