（2014•温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=14AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=5：2．当边AD或BC所在的直线

Question

（2014•温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=(1)/(4)AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=√(5)：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是______．

Answer 1

边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=√(5)：2，
∴EG：EN=√(5)：1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则GE＝√(5)x，根据勾股定理得：
(√(5)x)2−x2＝64，解得：x=4，GE=4√(5)，
设⊙O的半径为r，由OE²=EN²+ON²
得：r²=16+（8-r）²，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=(1)/(4)AB，
∴AB=12．
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，AB=4．
故答案为：12或4．