设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2015=0．（1）求Sn的最小值及此时n的值；（2）求n的取值集合，使an≥Sn．

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁<0，S₂₀₁₅=0．
（1）求S_n的最小值及此时n的值；
（2）求n的取值集合，使a_n≥S_n．

Answer 1

（1）∵S₂₀₁₅=0，
∴S₂₀₁₅=2015a₁+(2015×2014)/(2)d=0，
即a₁+1007d=0，则d=-(a1)/(1007)>0，
∵S₂₀₁₅=(2015(a1+a2015))/(2)=2015a₁₀₀₈=0，
即a₁₀₀₈=0，
∵公差d>0，∴a₁₀₀₉>0，
∴当n=1007或1008时，S_n取得最小值，此时S₁₀₀₈=(1008(a1+0))/(2)=504a₁．
（2）若a_n≥S_n．
即a₁+（n-1）d≥na₁+(n(n-1))/(2)d，
即（n-1）d≥（n-1）a₁+(n(n-1))/(2)d，
（n-1）（d-a₁-(n)/(2)d）≥0，
∴（n-1）[-(a1)/(1007)-a₁-(n)/(2)×（-(a1)/(1007)）]≥0，
即（n-1）（n-2016）≤0，
∴1≤n≤2016．