已知O为原点,向量OA=（3cosx,3sinx）,OB=（3cosx,sinx）,OC=（—2,0）,x属于{0,派/2}.1.求证：{OA-OB}⊥OC；2.求tan∠AOB的最大值及相应的x值

Question

已知O为原点,向量OA=（3cosx,3sinx）,OB=（3cosx,sinx）,OC=（—2,0）,x属于{0,派/2}.
1.求证：{OA-OB}⊥OC；2.求tan∠AOB的最大值及相应的x值

Answer 1

1
向量OA=（3cosx,3sinx）,OB=（3cosx,sinx）
∴向量OA-OB=(0,2sinx)
∵OC=（—2,0）
∴{OA-OB}●OC=-2*0+082sinx=0
∴{OA-OB}⊥OC
2
|a|=3,|b|=√(9cos²x+sin²x)=√(8cos²x+1)
∴cos∠AOB=a●b/(|a||b|)
=(9cos²x+3sin²x)/[3√(8cos²x+1)]
=(2cos²x+1)/√(8cos²x+1)
sin∠AOB=√[1-(2cos²x+1)²/(8cos²x+1)]
=√(4cos²xsin²x)/√(8cos²x+1)
=2sinxcosx/√(8cos²x+1)
∴tan∠AOB=sin∠AOB/cos∠AOB
=2sinxcosx/(2cos²x+1)
tan²∠AOB=4(1-cos²x)cos²x/(2cos²x+1)²
令2cos²x+1=t∈[1,3],cos²x=(t-1)/2
∴ tan²∠AOB=4[1-(t-1)/2][(t-1)/2]/t²
=(3-t)((t-1)/t²=(-3-t²+4t)/t²
=-3/t²+4/t-1 =-3(t-2/3)²+1/3
∵1/t∈[1/3,1]
∴1/t=2/3时,tan²∠AOB最大=1/3
此时cos²x=1/4,cosx=1/2 x=π/3,
tan∠AOB最大值为√3/3