设f(x)连续且满足方程∫（下面是0,上面是1）f(tx)dt=nf(x),其中n为自然数,求f(x)

Question

设f(x)连续且满足方程∫（下面是0,上面是1）f(tx)dt=nf(x),其中n为自然数,求f(x)

Answer 1

在左边令y=tx,则左边=∫(0→x)f(y)d(y/x)=1/x∫(0→x)f(y)dy
所以∫(0→x)f(y)dy=nxf(x)
两边求导：f(x)=nf(x)+nxf'(x)
(1-n)f(x)=nxdf(x)/dx
若f(x)≠0,
df(x)/f(x)=(1-n)/n*dx/x
两边积分：ln|f(x)|=(1-n)/n*ln|x|+C
f(x)=Cx^((1-n)/n) (C≠0)
若f(x)=0,显然成立.
综上,f(x)=Cx^((1-n)/n)