已知双曲线x2a2-y2b2=1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ．试证明（1）1|OP|2+1|OQ|2=1a2-1b2；（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2−a2；（3）S△OPQ的最小值是a2b2b2−a2．

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ．试证明
（1）(1)/(|OP|2)+(1)/(|OQ|2)=(1)/(a2)-(1)/(b2)；
（2）|OP|²+|OQ|²的最小值为(4a2b2)/(b2−a2)；
（3）S_△OPQ的最小值是(a2b2)/(b2−a2)．

Answer 1

（1）设直线OP的方程为y=kx，（k≠0）由y＝kxx2a2−y2b2＝1消去y，得b2x2-a2k2x2=a2b2，解之得x2=a2b2b2−a2k2，从而得出y2=k2x2=a2b2k2b2−a2k2，∴|OP|2=x2+y2=a2b2b2−a2k2+a2b2k2b2−a2k2=a2b2(1+k2)b2−a2k2．...