（2010•广安）如图，直线y=-x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A（-1，0）、C（3，-4）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大

Question

（2010•广安）如图，直线y=-x-1与抛物线y=ax²+bx-4都经过点A（-1，0）、C（3，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（-1，0）、C（3，-4）在抛物线y=ax²+bx-4上，
∴

0＝a(−1)2+b(−1)−4

−4＝a×32+b×3−4

，
∴a=1，b=-3，
∴y=x²-3x-4．

（2）设动点P的坐标为（m，-m-1），则E点的坐标为（m，m²-3m-4），
∴PE=（-m-1）-（m²-3m-4），
=-m²+2m+3，
=-（m-1）²+4，
∵PE＞0，
∴当m=1时，线段PE最大且为4．

（3）假设存在符合条件的Q点；
当线段PE最大时动点P的坐标为（1，-2），
①当PQ⊥PC时，
∵直线PC的解析式为：y=-x-1
∴直线PQ的解析式可设为：y=x+b，
则有：-2=1+b，b=-3；
∴直线PQ的方程为y=x-3，
联立

y＝x−3

y＝x2−3x−4

得点Q的坐标为：（2+√(5)，√(5)-1），（2-√(5)，-√(5)-1）．
②当CQ⊥PC时，同理可求得直线CQ的解析式为y=x-7；
联立抛物线的解析式得：

y＝x−7

y＝x2−3x−4

，
解得

x＝1

y＝−6

，

x＝3

y＝−4

（舍去），
∴Q（1，-6）；
综上所述，符合条件的Q点共有3个，坐标为：Q₁（2+√(5)，√(5)-1），Q₂（2-√(5)，-√(5)-1），Q₃（1，-6）．