已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2-（2an+1-1）an-2an+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．

Question

已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）根据题意，a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0，
当n=1时，有a₁²-（2a₂-1）a₁-2a₂=0，
而a₁=1，则有1-（2a₂-1）-2a₂=0，解可得a₂=(1)/(2)，
当n=2时，有a₂²-（2a₃-1）a₂-2a₃=0，
又由a₂=(1)/(2)，解可得a₃=(1)/(4)，
故a₂=(1)/(2)，a₃=(1)/(4)；
（2）根据题意，a_n²-（2a_n+1-1）a_n-2a_n+1=0，
变形可得（a_n-2a_n+1）（a_n+1）=0，
即有a_n=2a_n+1或a_n=-1，
又由数列{a_n}各项都为正数，
则有a_n=2a_n+1，
故数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为(1)/(2)的等比数列，
则a_n=1×（(1)/(2)）^n-1=(1)/(2)^n-1，
故a_n=(1)/(2)^n-1．