已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．

Question

已知an-bm≠0，a≠0，ax²+bx+c=0，mx²+nx+p=0，求证：（cm-ap）²=（bp-cn）（an-bm）．

Answer 1

证明：∵an-bm≠0
∴方程ax²+bx+c=0和方程mx²+nx+p=0有相等的根．
方程ax²+bx+c=0可化为x²+(b)/(a)x+(c)/(a)=0   ①
方程mx²+nx+p=0可化为x²+(n)/(m)x+(p)/(m)=0   ②
把方程①-②可得：（(b)/(a)-(n)/(m)）x+（(c)/(a)-(p)/(m)）=0
解方程得：(bm−an)/(am)x+(cm−ap)/(am)=0
（bm-an）x+（cm-ap）=0
x=(ap−cm)/(bm−an)
把x=(ap−cm)/(bm−an)代入方程ax²+bx+c=0
得：a((ap−cm)/(bm−an))2+b（(ap−cm)/(bm−an)）+c=0
a（ap-cm）²+b（ap-cm）（bm-an）+c（bm-an）²=0
a（ap-cm）²+（bm-an）（abp-bcm+bcm-can）=0
a（ap-cm）²+a（bm-an）（bp-cn）=0
∵a≠0，
∴两边同时除以a得到：（ap-cm）²+（bm-an）（bp-cn）=0
故（ap-cm）²=（bp-cn）（an-bm）．