设a1=(1,1,1)T,a2=(1,2,3)T,a3=(1,3,t)T.(1)问t为何值时,向量组a1,a2,a3线性相关?(2)问t为何值时,向量组a1,a2,a3线性无关?(3)当向量组a1,a2,a3线性相关时,将a3表示为a1和a2的线性组合.

Question

设a1=(1,1,1)T,a2=(1,2,3)T,a3=(1,3,t)T.
(1)问t为何值时,向量组a1,a2,a3线性相关?
(2)问t为何值时,向量组a1,a2,a3线性无关?
(3)当向量组a1,a2,a3线性相关时,将a3表示为a1和a2的线性组合.

Answer 1

若三组向量线性相关,则k1(1,1,1)T+k2(1,2,3)T+k3(1,3,t)T=0.k1,k2,k3不全为0.
则 k1+k2+k3=0
k1+2k2+3k3=0
k1+3k2+tk3=0
可得矩阵 1 1 1
1 2 3
1 3 t
矩阵可以变形为 1 1 1
0 1 2
0 2 t-1
即 1 1 1
0 1 2
0 0 t-5
若t,不等于5,则矩阵的行列式不等于0,所以以K1,K2,K3为未知数的方程组只有一个解,且这个解是（0,0,0）T.
若t=5,则则矩阵的行列式=0,所以以K1,K2,K3为未知数的方程组除了0解还有别的解.
（1）t=5
(2)t不等于5
（3）t=5时,
1 1 1
0 1 2
0 0 0
即k1+k2+k3=0
k2+2k3=0
随便取一个数,比如令k3=1,则k2=-2,k1=1.
又k1a1+k2a2+k3a3=0
所以a3=-k1a1/k3-k2a2/k3
=-a1+2a2