已知点A（1-m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2-8x-8y+31=0上存在一点P使得PA•PB=0，则正实数m的最小值为．

Question

已知点A（1-m，0），B（1+m，0），若圆C：x²+y²-8x-8y+31=0上存在一点P使得

PA

•

PB

=0，则正实数m的最小值为___．

Answer 1

点A（1-m，0），B（1+m，0），∴A，B两点在x轴上，
由圆C：x²+y²-8x-8y+31=0，可知圆心（4，4），半径r=1，设P点的坐标为（4+cosθ，4+sinθ）
根据题意，向量得

PA

•

PB

=0，直线PA，PB斜率乘积等于-1．
即有：(4+sinθ)/(4+cosθ+m-1)•(4+sinθ)/(4+cosθ-1-m)=-1，
化简：（4+sinθ）²=m²-（3+cosθ）²
26+10sin（θ+φ）=m²
当10sin（θ+φ）取得最小值-1时，m取得值±4，
那么：正实数m的最小值4．
故答案为4．