如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．⑴求b的值．⑵求x1•x2的值⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分

Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线 交于M（x ₁ ，y ₁ ）和N（x ₂ ，y ₂ ）两点（其中x ₁ ＜0，x ₂ ＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x ₁ •x ₂ 的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M ₁ 、N ₁ ，判断△M ₁ FN ₁ 的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

⑴b=1
⑵显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得 ，依据“根与系数关系”得 =－4

⑶△M ₁ FN ₁ 是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M ₁ 的横坐标为x ₁ ，N ₁ 的横坐标为x ₂ ，设M ₁ N ₁ 交y轴于F ₁ ，
则F ₁ M ₁ •F ₁ N ₁ =－x ₁ •x ₂ =4，而F F ₁ =2，所以F ₁ M ₁ •F ₁ N ₁ =F ₁ F ² ，
另有∠M ₁ F ₁ F=∠FF ₁ N ₁ =90°，易证Rt△M ₁ FF ₁ ∽Rt△N ₁ FF ₁ ，得∠M ₁ FF ₁ =∠FN ₁ F ₁ ，
故∠M ₁ FN ₁ =∠M ₁ FF ₁ ＋∠F ₁ FN ₁ =∠FN ₁ F ₁ ＋∠F ₁ FN ₁ =90°，所以△M ₁ FN ₁ 是直角三角形．
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
直线y=－1即为直线M ₁ N _{1 ．}
如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为 ,计算知NN ₁ = ， NF= ，得NN ₁ =NF
同理MM ₁ =MF．
那么MN=MM ₁ ＋NN ₁ ，作梯形MM ₁ N ₁ N的中位线PQ，由中位线性质知PQ= （MM ₁ ＋NN ₁ ）= MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．

此题第（1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。
（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“根与系数”的关系求解。
（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。
（4）用函数的加减来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。