已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1．求：（1）⊙A的半径；（2）tan∠ADB的值？

Question

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1．求：
（1）⊙A的半径；
（2）tan∠ADB的值？

Answer 1

（1）设⊙A的半径为R，（1分）
∵⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1，
∴AB=R-1，AC=R+1．（2分）
∵∠A=90°，BC=4，∴AB²+AC²=BC²，（1分）
∴（R-1）²+（R+1）²=16，（1分）
解得R=±√(7)（负值舍去）．
∴⊙A的半径为√(7)．（2分）
（2）∵⊙A与⊙C外切于点D，∴点D在AC上．（1分）
在Rt△ADB中，∵AD=√(7)，AB=√(7)−1，
∴tan∠ADB＝(AB)/(AD)＝(√(7)−1)/(√(7))＝(7−√(7))/(7)．（2分）