∫1/(1+根号x+根号(1+x))dx

Question

∫1/(1+根号x+根号(1+x))dx

Answer 1

令x=tan²u,则√x=tanu,√(1+x)=secu,dx=2tanusec²udu
∫1/(1+根号x+根号(1+x))dx
=∫ 2tanusec²u/(1+tanu+secu) du
=∫ 2tanusec²u/(1+tanu+secu) du
=2∫ sinu/(cos³u+sinucos²u+cos²u) du
下面用万能代换,
令tan(u/2)=t,则u=2arctant,du=2/(1+t²)dt,sinu=2t/(1+t²),cosu=(1-t²)/(1+t²)
不想做了,计算量太大了.
结果为：
-2/(t+1)-1/(t-1)-(1/2)ln(t+1)+(1/2)ln(t-1)+1/(t+1)²
然后换回原变量.