如图，x轴上两个点A（-4，0），B（2，0），直线l经过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Question

如图，x轴上两个点A（-4，0），B（2，0），直线l经过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

以AB为直径作 F，圆心为F．过E点作 F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．
∵A（-4，0），B（2，0），∴F（-1，0）， F半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF中，
ME=√(52-32)=4，sin∠MFE=(4)/(5)，cos∠MFE=(3)/(5)．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×(4)/(5)=12(12)/(5)，
FN=MF•cos∠MFE=3×(3)/(5)=(9)/(5)，则ON=(4)/(5)，
∴M点坐标为（(4)/(5)，(12)/(5)）
直线l过M（(4)/(5)，(12)/(5)），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有

(4)/(5)k+b=(12)/(5)

4k+b=0

，解得

k=-(3)/(4)

b=3

，
所以直线l的解析式为y=-(3)/(4)x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=(3)/(4)x-3．
综上所述，直线l的解析式为y=-(3)/(4)x+3或y=(3)/(4)x-