已知二次函数y=-x^2+2x+3,若0小于等于x小于等于a,求该函数的最大值和最小值,即取得最值时对应的x的取值范围

Question

已知二次函数y=-x^2+2x+3,若0小于等于x小于等于a,求该函数的最大值和最小值,即取得最值时对应的x的取值范围

Answer 1

配方可得y = 4 -(x-1)²,此为对称轴为x = 1,开口向下的抛物线.现在分几种情况考虑.
(1) a ≤ 1
此时函数在[0,a]内为增函数,最小值为f(0) = 3,最大值为f(a) = 4 -(a-1)²
这里的一个特例是a = 1,此时最大值为f(a) = f(1) = 4
(2) 1 < a　≤ 2
此时图像在（1,2]的部分不宽于在[0,1]的部分,最小值为f(0) = 3,最大值为f(1) = 4
这里的一个特例是a = 2,此时最小值为f(a) = f(2) = f(0) = 3
(3) a > 2
此时图像在（1,a]的部分宽于在[0,1]的部分,最小值为f(a) = 4-(a-1)²,最大值为f(1) = 4