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如图,以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE、CAFG、BCHK.连接EF、GH、KD.求证:以EF、GH、KD为边可以构成一个三角形,并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍.
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如图,以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE、CAFG、BCHK.连接EF、GH、KD.求证:以EF、GH、KD为边可以构成一个三角形,并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍.
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答案和解析
证明:把△AEF沿AB平移,△HCG沿CB方向平移,
使A、C重合于B,F、G重合于I,连接DI,BI,KI,
∴△DBI≌△AEF,△BIK≌△HCG,
可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°,
因此可拼成一个△DIK,
把△GCH绕C点旋转90°,得到△BCG′,
可得A,C,G′在一条直线上,且C为AG′的中点.
所以S△BCG′=S△ABC,因此S△BIK=S△ABC,同理S△DBK=S△DBI=S△ABC,
因此由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S△DIK=3S△ABC.
使A、C重合于B,F、G重合于I,连接DI,BI,KI,
∴△DBI≌△AEF,△BIK≌△HCG,
可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°,
因此可拼成一个△DIK,
把△GCH绕C点旋转90°,得到△BCG′,
可得A,C,G′在一条直线上,且C为AG′的中点.
所以S△BCG′=S△ABC,因此S△BIK=S△ABC,同理S△DBK=S△DBI=S△ABC,
因此由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S△DIK=3S△ABC.
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