设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数．（1）试证存在x0∈（0，1），使得在区间[0，x0]上以f（x0）为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．（2）又设f

Question

设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
（1）试证存在x₀∈（0，1），使得在区间[0，x₀]上以f（x₀）为高的矩形面积，等于在区间[x₀，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．
（2）又设f（x）在区间（0，1）内可导，且f′（x）>(-2f(x))/(x)，证明（1）中的x₀是唯一的．

Answer 1

（1）令函数F(x)=

∫

1 x

f(t)dt-xf(x)，则只需证明存在x∈（0，1）使得F（x）=0．
因为函数y=f（x）是区间[0，1]上的任一连续函数，所以，函数F（x）也是连续函数．
F(0)=

∫

1 0

f(t)dt-0=

∫

1 0

f(t)dt，F(1)=

∫

1 1

f(t)dt-f(1)=0-f(1)=-f(1)；
因为y=f（x）是区间[0，1]上非负，所以有：F（0）≥0，F（1）≤0
因为F（x）连续，所以在区间（0，1）上必存在x₀∈（0，1），使得F（x₀）=0．
即存在x₀∈（0，1），使得在区间[0，x₀]上以f（x₀）为高的矩形面积，等于在区间[x₀，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．
（2）F'（x）=-f（x）-[f（x）+xf'（x）]=-[2f（x）+xf'（x）]
因为在区间（0，1）内f′（x）>(-2f(x))/(x)，所以xf'（x）>-2f（x），所以，2f（x）+xf'（x）>0
所以，在区间（0，1）内F'（x）<0，即F（x）在区间（0，1）内单调递减，
故（1）中的x₀是唯一的．