设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数．（1）试证存在x0∈（0，1），使得在区间[0，x0]上以f（x0）为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．（2）又设f

Question

设y=f（x）是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
（1）试证存在x₀∈（0，1），使得在区间[0，x₀]上以f（x₀）为高的矩形面积，等于在区间[x₀，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．
（2）又设f（x）在区间（0，1）内可导，且f′（x）>-(2f(x))/(x)，证明（1）中的x₀是唯一的．

Answer 1

证明：（1）要证明：存在x₀∈（0，1），使得在区间[0，x₀]上以f（x₀）为高的矩形面积，
等于在区间[x₀，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．
即证明：存在x₀∈（0，1），使得

∫

1 x0

f（x）dx=x₀f（x₀）成立．
令φ（x）=x

∫

1 x

f(t)dt
则φ（x）在区间[0，1]上连续；
且：φ（0）=0；φ（1）=0；
根据罗尔定理，在区间（0，1）上，至少有一个值x₀，使得φ'（x₀）=0．
而：φ'（x）=

∫

1 x

f(t)dt+x[-f（x）]
=

∫

1 x

f(t)dt-xf（x）
φ'（x₀）=

∫

1 x0

f（t）dt-x₀f（x₀）=0
既有：

∫

1 x0

f（t）dt=x₀f（x₀）
也就是：

∫

1 x0

f（x）dx=x₀f（x₀）
命题得证．
（2）令：F（x）=xf（x）-

∫

1 x

f(t)dt
显然对于x=x₀时，
F（x₀）=x₀f（x₀）-

∫

1 x0

f（t）dt=0
故至少存在一个x₀，使得F（x）=0成立．
F'（x）=f（x）+xf'（x）+f（x）
=2f（x）+xf'（x）
根据题意有：f′（x）>-(2f(x))/(x)
且x>0
∴xf'（x）>-2f（x）
即：2f（x）+xf'（x）>0
∴F（x）在（0，1）上单调递增．
故F（x）在（0，1）上至多只有一个点满足F（x）=0；
综上可知，F（x）在（0，1）上有且仅有一个点x=x₀，使得：

∫

1 x0

f（x）dx=x₀f（x₀）成立．
故x₀是唯一的．
命题得证．