设直线l1：y=kx+k-1和直线l2：y=（k+1）x+k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积是Sk，则S1+S2+S3+…+S2010=（）A．10052010B．10052011C．20102010D．20102011

Question

设直线l₁：y=kx+k-1和直线l₂：y=（k+1）x+k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积是S_k，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₀=（　　）

A．(1005)/(2010)
B．(1005)/(2011)
C．(2010)/(2010)
D．(2010)/(2011)

Answer 1

方程组

y＝kx+k−1

y＝(k+1)x+k

的解为

x＝−1

y＝−1

，
所以直线的交点是（-1，-1），
直线y=kx+k-1与x轴的交点为((1−k)/(k)，0)，y=（k+1）x+k与x轴的交点为（(−k)/(k+1)，0），
∴S_k=(1)/(2)×|−1|×|(1−k)/(k)−(−k)/(k+1)|=(1)/(2)|(1)/(k)−(1)/(k+1)|，
所以 S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₀=(1)/(2)（1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+(1)/(2010)-(1)/(2011)）
=(1)/(2)×（1-(1)/(2011)）
=(1)/(2)×(2010)/(2011)
=(1005)/(2011)，
故选B．