如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，以AB为边向外作正方形ABDE，若此正方形中心为点O，则点C和点O之间的距离为．

Question

如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=8，以AB为边向外作正方形ABDE，若此正方形中心为点O，则点C和点O之间的距离为___．

Answer 1

过点O作OM垂直于CA于点N，作ON垂直于CB于点N，连接OA、OB，

∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形ABDE对角线交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON

∠OMA=∠ONB=90°

OA=OB

，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
∴AM=BN，
∵AC=4，BC=8，
∴CN=(AC+BC)/(2)=6，
∵∠OCN=45°，
∴ON=CN=6，
由勾股定理得OC=6√(2)，
故答案为：6√(2)．