20个三角形最多把平面分成多少部分?为什么?

Question

20个三角形最多把平面分成多少部分?为什么?

Answer 1

假设n个三角形可以把平面分成 f(n)部分,f(n)= f(n-1) + n(n+1)
所以,一个三角形最多把平面分成 2 部分,即 f(1)=2,可推得,
f(2) = 2+2*3 = 8； f(3) = 8 + 3*4 = 20
3个三角形最多把平面分成 20 部分
f(2) - f(1) = 2(2+1) = 2^2 + 2
f(3) - f(2) = 3(3+1) = 3^2 + 3
.
f(20) - f(19) = 20(20+1)= 20^2 + 20
所以,上面各式相加：
f(20) - f(1) = (2^2 + 2)+(3^2 + 3)+.+(20^2 + 20)
= (2^2 +3^2 +.+ 20^2)+(2 + 3 + .+ 20)
= [20*(20+1)*(40+1)/6 - 1] + (2+20)*19/2
= 2869 + 209
= 3078
f(20) = 3078 +f(1) = 3080
所以 20个三角形最多把平面分成 3080 部分