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已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称S具有性质P,(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x
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已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s 1 ,s 2 ,都有|s 1 -s 2 |≠m,则称S具有性质P, (1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由; (2)当n=1 000时, ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由; ②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。 |
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答案和解析
(1)当n=10时,集合A={1,2,3,…,19,20}, B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P. 因为对任意不大于10的正整数m,都可以找到该集合中两个元素b 1 =10与b 2 =10+m,使得|b 1 -b 2 |=m成立。 集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}具有性质P. 因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c 1 =3k 1 -1,c 2 =3k 2 -1,k 1 ,k 2 ∈N*, 都有|c 1 -c 2 |=3|k 1 -k 2 |≠1。 (2)当n=1000时,则A={1,2,3,…,1999,2 000}, ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P. 首先因为T={2 001-x|x∈S},任取t=2001-x 0 ∈T,其中x 0 ∈S, 因为S A,所以x 0 ∈{1,2,3,…,2 000}, 从而1≤2 001-x 0 ≤2000,即t∈A,所以T A. 由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m, 使得对S中的任意一对元素s 1 ,s 2 ,都有|s 1 -s 2 |≠m, 对于上述正整数m,从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t 1 =2001-x 1 ,t 2 =2001-x 2 ,其中x 1 ,x 2 ∈S, 则有|t 1 -t 2 |=|x 1 -x 2 |≠m,所以集合T= {200-x|x∈S}具有性质P。 ②设集合S有k个元素,由第①问知,若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S} 一定具有性质P. 任给x∈S,1≤x≤2 000,则x与2001-x中必有一个不超过1 000, 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1 000, 不妨设S中有 个元素b 1 ,b 2 ,…,b t 不超过1 000, 由集合S具有性质P,可知存在正整数m≤1000,使得对S中任意两个元素s 1 ,s 2 ,都有|s 1 -s 2 |≠m, 所以一定有b 1 +m,b 2 +m,…,b t +m S, 又b i +m≤1 000 +1 000=2 000,故b 1 +m,b 2 +m,…,b t +m∈A, 即集合A中至少有t个元素不在子集S中, 因此 ,所以 ,得k≤1 333, 当S={1,2,…,665 ,666,1 334,…,1 999,2 000}时, 取m=667,则易知对集合S中任意两个元素y 1 ,y 2 ,都有|y 1 -y 2 |≠667,即集合S具有性质P, 而此时集合S中有1 333个元素, 因此集合S的元素个数的最大值是1 333。 |
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