下列说法中：①若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1)，则6为函数f(x)的周期；②若对于任意x∈(1，3)，不等式恒成立，则；③定义：“若函数f(x)对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f(x)|≤M|x|

Question

下列说法中：
①若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1)，则6为函数f(x)的周期；
②若对于任意x∈(1，3)，不等式恒成立，则；
③定义：“若函数f(x)对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f(x)|≤M|x|恒成立，则称函数f(x)为有界泛函．”由该定义可知，函数为有界泛函；
④对于函数，设f_(2)(x)=f[f(x)]，，…，，令集合M={x|f_(2009)(x)=x，x∈R}，则集合M为空集．
正确的个数为

• A

  1个
• B

  2个
• C

  3个
• D

  4个

Answer 1

【分析】依据相关函数的性质逐一进行判断证明，判断每个命题的正误．①变形判断其以6为周期，②分离出a来，利用恒成立求其范围；③根据有界函数的定义进行判断，确定f(x)=x²+1的性质；④先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值．

①由题设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1)，得f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，故周期是6，正确．
\n②对于任意x∈(1，3)，不等式x²-ax+2＜0恒成立，即a>x+对于任意x∈(1，3)恒成立，x+≥2等号当且仅当x==时成立，又当x=1，x+=3，x=3，x+=，故a≥故不对．
\n③若命题成立，则必有M≥|x|+，x∈R恒成立，这是不可能的，故不对．
\n④由题设f₂(x)=-，f₃(x)=，f₄(x)=，f₅(x)=f₆(x)=-x，f₇(x)=f₃(x)=，故从f₃(x)开始组成了一个以f₃(x)为首项，以周期为4重复出现，由2009=3+501*4+2得f₂₀₀₉(x)=f₅(x)，故=x整理得，x²+2x-1=0，有解，故不对．
\n综上，仅有①正确
\n故应选A．

【点评】考查周期性，恒成立求参数，利用周期性求值，新定义函数的正确性验证，本题作为一个选择题运算量太大，且变形技巧性强，实为得分不易之题．