已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．

Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围．

Answer 1

（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
变形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，
当且仅当-7m²+6m+1＞0，即7m²-6m-1＜0时方程表示圆；
所以−(1)/(7)＜m＜1时，该方程表示一个圆；
（2）在−(1)/(7)＜m＜1时，设r²=-7m²+6m+1，为开口向下的抛物线，
r²=-7m²+6m+1=−7(m−(3)/(7))2+(16)/(7)
∴0＜r2≤(16)/(7)
∴0＜r≤(4)/(7)√(7)