已知抛物线y＝12x2−(m−3)x+5−4m2．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；（3

Question

已知抛物线y＝(1)/(2)x2−(m−3)x+(5−4m)/(2)．
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；
（3）若反比例函数y＝(k)/(x)(k＞0，   x＞0)的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x₀，且满足2＜x₀＜3，求k的取值范围．

Answer 1

（1）证明：令(1)/(2)x2−(m−3)x+(5−4m)/(2)＝0．
得△＝[−(m−3)]2−4×(1)/(2)×(5−4m)/(2)=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵不论m为任何实数，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．
x＝−(−(m−3))/(2×(1)/(2))＝m−3．

（2）抛物线y＝(1)/(2)x2−(m−3)x+(5−4m)/(2)的对称轴为：x=m-3，
∵抛物线上两个不同点A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的纵坐标相同，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则m−3＝((n−3)+(−n+1))/(2)＝−1．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y＝(1)/(2)x2+x−(3)/(2)．   
∵A（n-3，n²+2）在抛物线y＝(1)/(2)x2+x−(3)/(2)上，
∴(1)/(2)(n−3)2+(n−3)−(3)/(2)＝n2+2．
化简，得n²+4n+4=0．
∴n=-2．　　

（3）当2＜x＜3时，
对于y＝(1)/(2)x2+x−(3)/(2)，y随着x的增大而增大，
对于y＝(k)/(x)(k＞0，   x＞0)，y随着x的增大而减小．
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得(k)/(2)＞(1)/(2)×22+2−(3)/(2)，
解得：k＞5．
当x₀=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得(1)/(2)×32+3−(3)/(2)＞(k)/(3)，
解得k＜18．
所以k的取值范围为：5＜k＜18．