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探究函数的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57…请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.函数在区间(0
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探究函数
的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
函数
在区间(0,2)上递减;
(1)函数
在区间______上递增.当x=______时,y最小=______.
(2)证明:函数
在区间(0,2)递减.
(3)思考:函数
有最值吗?如有,是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明).

x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
函数

(1)函数

(2)证明:函数

(3)思考:函数

▼优质解答
答案和解析
(1)利用表中y值随x值变化的特点,可以知道函数值是先减后增,只要找到临界点即可得到答案.
(2)法一:根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导函数在区间(0,2)上的符号,即可判断出函数数
在区间(0,2)上的单调性,进而得到答案.
法二:任取区间,(0,2)上的任意两个数x1,x2,且x1<x2.构造f(x1)-f(x2)的差,并根据实数的性质判断其符号,根据函数单调性的定义,即可得到结论.
(3)根据的解析式,我们易求出函数在定义域为奇函数,根据奇函数的性质,结合(1)的结论,易得到结果.
【解析】
(1)由表格中的数据,我们易得:
函数
在区间(2,+∞)上递增.
当x=2时,y最小=4.;
(2)方法一:由f(x)=x+
,
∴f'(x)=1-
=
,
当x∈(0,2)时,∴f'(x)<0,
∴函数在(0,2)上为减函数.
方法二:设x1,x2是区间,(0,2)上的任意两个数,且x1<x2.
=
∵x1<x2,∴x1-x2<0
又∵x1,x2∈(0,2),∴0<x1x2<4,∴x1x2-4<0,
∴y1-y2>0∴函数在(0,2)上为减函数.
(3)∵f(-x)=-x-
=-f(x),
∴f(x)是奇函数,
又因为当x=2时y最小=4,
所以
(2)法一:根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导函数在区间(0,2)上的符号,即可判断出函数数

法二:任取区间,(0,2)上的任意两个数x1,x2,且x1<x2.构造f(x1)-f(x2)的差,并根据实数的性质判断其符号,根据函数单调性的定义,即可得到结论.
(3)根据的解析式,我们易求出函数在定义域为奇函数,根据奇函数的性质,结合(1)的结论,易得到结果.
【解析】
(1)由表格中的数据,我们易得:
函数

当x=2时,y最小=4.;
(2)方法一:由f(x)=x+

∴f'(x)=1-


当x∈(0,2)时,∴f'(x)<0,
∴函数在(0,2)上为减函数.
方法二:设x1,x2是区间,(0,2)上的任意两个数,且x1<x2.

=

∵x1<x2,∴x1-x2<0
又∵x1,x2∈(0,2),∴0<x1x2<4,∴x1x2-4<0,
∴y1-y2>0∴函数在(0,2)上为减函数.
(3)∵f(-x)=-x-

∴f(x)是奇函数,
又因为当x=2时y最小=4,
所以

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