有关线性代数的问题请问在求解其次或非其次线性方程时,应该怎么确定自由未知数,就是应该怎样根据初等行变换之后的系数矩阵找自由未知数到底是哪个或哪几个,应该遵循一个怎样的步骤.

Question

有关线性代数的问题
请问在求解其次或非其次线性方程时,应该怎么确定自由未知数,就是应该怎样根据初等行变换之后的系数矩阵找自由未知数到底是哪个或哪几个,应该遵循一个怎样的步骤.
比如其次线性方程组的系数矩阵是 1 1 0 ,应该怎么确定自由未知数,
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Answer 1

首先将系数矩阵化成行阶梯型矩阵,非零行的行数就是矩阵的秩R(A),自由变量有n-R(A)个
找到每一非零行的首个非零元（主元）所在列即主列pivot column,则该列对应变量为非自由变量,其他变量为自由变量
你的例子
1 1 0
0 0 0
0 0 0
R(A)=1,所以自由变量有3-R(A)=2个,第一列为主列,所以剩下变量x2和x3为自由变量,取(x2,x3)=(1,0)或(0,1)即可,所以(-1,1,0),(0,0,1)为基础解系,所有解为x=k1(-1,1,0)+k2(0,0,1).
实际上,所有主列构成了一个上三角矩阵,由于对角元全不为零,故主列是极大线性无关组.由于极大线性无关组一般不唯一,所以主列一般也不唯一.让自由变量取一组自然基,则得到的解向量是线性无关的,即是基础解系.