有关等周问题的几个问题如果给定一个角和一个定长曲线,要求作以这个角和定长曲线围成的最大面积的图形,则结论是一个以该角顶点为圆心的扇形.如果给定该角一个边上的一个点,要求曲线

Question

有关等周问题的几个问题
如果给定一个角和一个定长曲线,要求作以这个角和定长曲线围成的最大面积的图形,则结论是一个以该角顶点为圆心的扇形.
如果给定该角一个边上的一个点,要求曲线过该点呢?
如果分别给定两个边上的两个点呢?

Answer 1

给定一个角和一个定长曲线,围成的最大面积的图形是这个角与圆弧围成的区域.从物理角度讲,把这个角看作两根杆,把定长曲线看作两端套着两个环的定长绳子,两个环分别套在杆上并可以无摩擦滑动.（本人物理不好,描述可能不当...）
大概就是这个意思,用打气筒往这个区域充气,充满为止,这时气囊的边界就是所要求的图形.不难看出,由于环与杆无摩擦,这时绳子的两端与角的两边（杆）垂直,即曲线与角的边接触部分与角垂直,且曲线上各点的曲率半径一致.
由此：
给定一个角和一个定长曲线,面积最大的是扇形；
给定该角一个边上的一个点,要求曲线过该点,则曲线与角的另一边接触部分垂直（圆心在角另一边上的圆弧,向外凸）；——点固定,该点固定在杆上,只有另一点才能看作有环套在杆上
分别给定两个边上的两个点,曲线将形成过这两点的圆弧（向外凸）