如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的正半轴相交于点A、与y轴的正半轴相交于点B，它的对称轴与x轴相交于点C，且∠OBC=∠OAB，AC=3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D在此

Question

如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax+c与x轴的正半轴相交于点A、与y轴的正半轴相交于点B，它的对称轴与x轴相交于点C，且∠OBC=∠OAB，AC=3．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点D在此抛物线上，DF⊥OA，垂足为F，DF与线段AB相交于点G，且S_△ADG：S_△AFG=3：2，求点D的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c的对称轴为直线x=-(-2a)/(a)=1，
∴OC=1，OA=OC+AC=4，
∴点A（4，0），
∵∠OBC=∠OAB，
∴tan∠OAB=tan∠OBC，
∴(OB)/(OA)=(OC)/(OB)，
∴(OB)/(4)=(1)/(OB)，
∴OB=2，
∴点B（0，2），
∴

2=c

0=16a-8a+c

∴

a=-(1)/(4)

c=2

，
∴此抛物线的表达式为y=-(1)/(4)x2+(1)/(2)x+2．

（2）由S_△ADG：S_△AFG=3：2得DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，
设OF=m，得AF=4-m，DF=-(1)/(4)m2+(1)/(2)m+2，
由FG∥OB，得(FG)/(OB)=(AF)/(OA)，
∴FG=(4-m)/(2)，
∴(-(1)/(4)m2+(1)/(2)m+2)：(4-m)/(2)=5：2，
∴m²-7m+12=0，
∴m₁=3，m₂=4（不符合题意，舍去），
当m=3时，D点纵坐标为(5)/(4)，
∴点D的坐标是（3，(5)/(4)）．