在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=(tanA)/(cosB)+(tanB)/(cosA)．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由2(tanA+tanB)=(tanA)/(cosB)+(tanB)/(cosA)得：
2((sinA)/(cosA)+(sinB)/(cosB))=(sinA)/(cosAcosB)+(sinB)/(cosAcosB)；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=2R；
∴sinA=(a)/(2R)，sinB=(b)/(2R)，sinC=(c)/(2R)，带入（1）得：(a)/(2R)+(b)/(2R)=(2c)/(2R)；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4c²；
∴a²+b²=4c²-2ab，且4c²≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b>0；
∴(c2)/(ab)≥1；
∴由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(3c2-2ab)/(2ab)=(3)/(2)•(c2)/(ab)-1≥(1)/(2)；
∴cosC的最小值为(1)/(2)．