已知函数的图象与的图象关于点A(0，1)对称．(1)求m的值；(2)若在(0，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数的图象与的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求m的值；
(2)若在(0，2]上是减函数，求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】由函数f(x)=m(x+)的图象与h(x)=(x+)+2的图象关于点A(0，1)对称．
\n(1)我们可以根据A是两个相互对称点的中点，求出函数f(x)=m(x+)的图象上一点的坐标，然后构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值；
\n(2)利用单调性的定义，我们可以利用作差法，构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．

(1)设P(x，y)是h(x)图象上一点，点P关于A(0，1)的对称点为Q(x₀，y₀)，则x₀=-x，y₀=2-y．
\n∴2-y=m，∴y=m+2，从而m=．
\n(2)g(x)=(x+)+=(x+)．
\n设0<x₁<x₂≤2，
\n则g(x₁)-gx₂=()-()
\n=(x₁-x₂)+(a+1)•
\n=(x₁-x₂)•>0，
\n并且在x₁，x₂∈(0，2]上恒成立，
\n∴x₁x₂-(a+1)<0，
\n∴1+a>x₁x₂，1+a≥4，∴a≥3．

【点评】本题考查的知识点是函数的对称性和奇偶性，其中利用函数的性质，将问题转化为一个方程问题或是不等式问题是解答本题的关键．