设0＜xn＜3，xn+1＝xn(3−xn)（n=1，2，3，…）．证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限．

Question

设0＜x_n＜3，xn+1＝√(xn(3−xn))（n=1，2，3，…）．证明：数列{x_n}的极限存在，并求此极限．

Answer 1

0＜x_n＜3，xn+1＝√(xn(3−xn))（n=1，2，3，…）存在．
xn+1＝√(xn(3−xn))=√((9)/(4)−((3)/(2)−xn)2)，故0＜xn+1≤(3)/(2)，0＜xn+2≤(3)/(2)
因此，有数学归纳法可知：对于任意正整数n＞1均有0＜xn≤(3)/(2)，因此数列{x_n}有界．
又有xn+1−xn＝√(xn(3−xn))−xn=√(xn)(√(3−xn)−√(xn))
∵对于任意正整数n＞1均有0＜xn≤(3)/(2)
∴对于任意正整数n＞1，0＜xn≤(3)/(2)≤3−xn＜3．
∴√(3−xn)≥√(xn)
∴x_n+1-x_n≥0即x_n+1≥x_n
故数列{x_n}单调增加．
由单调有界数列必有极限可知数列{x_n}极限存在．
假设数列{x_n}极限为a，即

lim

n→∞

xn＝a，
对xn+1＝√(xn(3−xn))两边取极限可得a＝√(a(3−a))
解得a＝(3)/(2)或a＝0
由于0＜x_n＜3而数列单调增加，因此数列极限

lim

n→∞

xn≥xn＞0
故a＝(3)/(2)
因此

lim

n→∞

xn＝(3)/(2)．