已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=203．过A作AH⊥BD于H．（1）将△AHB沿AB翻折，得△AEB．求证：∠EAB=∠ADB；（2）如图②，将△ABE绕点B顺时针旋转，记旋转中的△ABE为△A′BE′，在旋转过

Question

已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=(20)/(3)．过A作AH⊥BD于H．
（1）将△AHB沿AB翻折，得△AEB．求证：∠EAB=∠ADB；
（2）如图②，将△ABE绕点B顺时针旋转，记旋转中的△ABE为△A′BE′，在旋转过程中，延长A′E′与对角线BD交于点Q，与边AD交于点P，问是否存在这样的Q、P两点，使△DQP为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由翻折可知：∠EAB=∠BAH．
∵∠BAH+∠DAH=∠DAH+∠ADB=90°．
∴∠BAH=∠ADB，
∴∠EAB=∠ADB．   
（2）如图①所示，当PD=DQ时，
∵∠1=∠2，
∴∠A′BQ=∠A′QB，
∴A′Q=A′B=5，
∴E′Q=1．
在Rt△E′BQ中，BQ=√(E′B2+E′Q2)=√(10)．
∴DQ=(25)/(3)-√(10)．
如图②所示，当PQ=PD，
由∠1=∠2可得∠1=∠4，
∴BQ=A′B=5，
∴DQ=BD-BQ=(25)/(3)-5=(10)/(3)．
当QP=QD时，点P不在AD上，不合题意．
综上可知：当DQ=(25)/(3)-√(10)或(10)/(3)时，△DPQ是等腰三角形．